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5.4 : Solution logistique - Biologie

5.4 : Solution logistique - Biologie



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Rappelons que la capacité de charge est -r /s, aussi appelé K. Donc partout -r /s apparaît, remplacez K, comme suit.

(N(t),=frac{1}{(frac{s}{r},+frac{1}{N_0}),e^{-rt},-frac{ s}{r}})

(,=frac{1}{(,-frac{1}{K},+frac{1}{N_0}),e^{-rt},+frac{1 }{K}})

(,=frac{K}{(,-,1,+frac{K}{N_0}),e^{-rt},+,1})

(,=frac{K}{(frac{K,-,N_0}{N_0}),e^{-rt},+,1})

C'est la solution donnée dans les manuels pour la croissance logistique. Il y a de légères variations dans la façon dont il est écrit, mais elles sont équivalentes.


Croissance logistique

Une croissance exponentielle n'est possible que lorsque des ressources naturelles infinies sont disponibles, ce qui n'est pas le cas dans le monde réel. Charles Darwin a reconnu ce fait dans sa description de la « lutte pour l'existence », qui déclare que les individus seront en compétition (avec des membres de leur propre espèce ou d'autres espèces) pour des ressources limitées. Ceux qui réussissent survivront pour transmettre leurs propres caractéristiques et traits (dont nous savons maintenant qu'ils sont transférés par les gènes) à la génération suivante à un rythme plus rapide (sélection naturelle). Pour modéliser la réalité des ressources limitées, les écologistes des populations ont développé le croissance logistique maquette.

Lorsque les ressources sont illimitées, les populations présentent une croissance exponentielle, ce qui entraîne une courbe en forme de J. Lorsque les ressources sont limitées, les populations présentent une croissance logistique. Dans la croissance logistique, l'expansion de la population diminue à mesure que les ressources se raréfient et se stabilise lorsque la capacité de charge de l'environnement est atteinte, ce qui donne une courbe en forme de S.


32 L'équation logistique

Les équations différentielles peuvent être utilisées pour représenter la taille d'une population telle qu'elle varie dans le temps. Nous l'avons vu dans un chapitre précédent de la section sur la croissance exponentielle et la décroissance, qui est le modèle le plus simple. Un modèle plus réaliste inclut d'autres facteurs qui affectent la croissance de la population. Dans cette section, nous étudions l'équation différentielle logistique et voyons comment elle s'applique à l'étude de la dynamique des populations dans le contexte de la biologie.

Croissance démographique et capacité de charge

Pour modéliser la croissance démographique à l'aide d'une équation différentielle, nous devons d'abord introduire quelques variables et termes pertinents. La variable représentera le temps. Les unités de temps peuvent être des heures, des jours, des semaines, des mois ou même des années. Tout problème donné doit spécifier les unités utilisées dans ce problème particulier. La variable représentera la population. Comme la population varie dans le temps, on la comprend comme une fonction du temps. On utilise donc la notation pour la population en fonction du temps. Si est une fonction dérivable, alors la dérivée première représente le taux instantané de changement de la population en fonction du temps.

Dans Croissance et décroissance exponentielles, nous avons étudié la croissance et la décroissance exponentielles des populations et des substances radioactives. Un exemple de fonction de croissance exponentielle est Dans cette fonction, représente la population au moment représente la population initiale (population au moment et la constante est appelé taux de croissance. (Figure) montre un graphique de Ici et

On peut vérifier que la fonction satisfait le problème de la valeur initiale

Cette équation différentielle a une interprétation intéressante. Le côté gauche représente le taux auquel la population augmente (ou diminue). Le membre de droite est égal à une constante positive multipliée par la population actuelle. Par conséquent, l'équation différentielle indique que le taux d'augmentation de la population est proportionnel à la population à ce moment-là. De plus, il stipule que la constante de proportionnalité ne change jamais.

Un problème avec cette fonction est sa prédiction qu'avec le temps, la population augmente sans limite. C'est irréaliste dans un environnement réel. Divers facteurs limitent le taux de croissance d'une population particulière, notamment le taux de natalité, le taux de mortalité, l'approvisionnement alimentaire, les prédateurs, etc. La constante de croissance prend généralement en considération les taux de natalité et de mortalité mais aucun des autres facteurs, et il peut être interprété comme un taux de croissance net (naissances moins décès) par unité de temps. Une question naturelle à se poser est de savoir si le taux de croissance de la population reste constant ou s'il change avec le temps. Les biologistes ont découvert que dans de nombreux systèmes biologiques, la population augmente jusqu'à ce qu'une certaine population à l'état d'équilibre soit atteinte. Cette possibilité n'est pas prise en compte en cas de croissance exponentielle. Cependant, le concept de capacité de charge permet la possibilité que dans une zone donnée, seul un certain nombre d'un organisme ou d'un animal donné puisse prospérer sans se heurter à des problèmes de ressources.

La capacité de charge d'un organisme dans un environnement donné est définie comme étant la population maximale de cet organisme que l'environnement peut supporter indéfiniment.

On utilise la variable pour désigner la capacité de charge. Le taux de croissance est représenté par la variable En utilisant ces variables, nous pouvons définir l'équation différentielle logistique.

Laisser représentent la capacité de charge pour un organisme particulier dans un environnement donné, et laissez être un nombre réel qui représente le taux de croissance. La fonction représente la population de cet organisme en fonction du temps et la constante représente la population initiale (population de l'organisme au moment Alors l'équation différentielle logistique est

Voir ce site Web pour plus d'informations sur l'équation logistique.

L'équation logistique a été publiée pour la première fois par Pierre Verhulst dans Cette équation différentielle peut être couplée à la condition initiale pour former un problème à valeur initiale pour

Supposons que la population initiale soit petite par rapport à la capacité de charge. Puis est petit, peut-être proche de zéro. Ainsi, la quantité entre parenthèses à droite de (Figure) est proche de et le membre de droite de cette équation est proche de Si puis la population croît rapidement, ressemblant à une croissance exponentielle.

Cependant, à mesure que la population augmente, le ratio grandit aussi, car est constant. Si la population reste en deçà de la capacité de charge, alors est inférieur à donc Par conséquent, le côté droit de (Figure) est toujours positif, mais la quantité entre parenthèses diminue et le taux de croissance diminue en conséquence. Si alors le membre de droite est égal à zéro, et la population ne change pas.

Supposons maintenant que la population commence à une valeur supérieure à la capacité de charge. Puis et Alors le membre de droite de (Figure) est négatif et la population diminue. Tant que la population diminue. Il n'atteint jamais en fait car deviendra de plus en plus petit, mais la population approche de la capacité de charge comme approche de l'infini. Cette analyse peut être représentée visuellement au moyen d'une ligne de phase. Une ligne de phase décrit le comportement général d'une solution à une équation différentielle autonome, en fonction de la condition initiale. Pour le cas d'une capacité de charge dans l'équation logistique, la ligne de phase est comme indiqué dans (Figure).

Une ligne de phase pour l'équation différentielle

Cette ligne de phase montre que lorsque est inférieur à zéro ou supérieur à la population diminue avec le temps. Lorsque est entre et la population augmente avec le temps.

Considérons la population de cerfs de Virginie (Odocoileus virginianus) dans l'État du Kentucky. Le Département des ressources halieutiques et fauniques du Kentucky (KDFWR) établit des directives pour la chasse et la pêche dans l'État. Avant la saison de chasse de il a estimé une population de cerf. Johnson note: "Une population de cerfs qui a beaucoup à manger et qui n'est pas chassée par les humains ou d'autres prédateurs doublera tous les trois ans." (George Johnson, « Le problème de l'explosion des populations de cerfs n'a pas de solutions attrayantes », janvier consulté le 9 avril 2015, http://www.txtwriter.com/onscience/Articles/deerpops.html.) Cette observation correspond à un taux d'augmentation donc le taux de croissance approximatif est

par an. (Cela suppose que la population augmente de façon exponentielle, ce qui est raisonnable - du moins à court terme - avec une alimentation abondante et aucun prédateur.) Le KDFWR rapporte également les densités de population de cerfs pour comtés du Kentucky, dont la moyenne est d'environ cerf par mile carré. Supposons que ce soit la densité de cerfs pour l'ensemble de l'état miles carrés). La capacité de charge est milles carrés fois cerf par mile carré, ou cerf.

  1. Pour cette application, nous avons et Substituez ces valeurs dans (Figure) et formez le problème de la valeur initiale.
  2. Résoudre le problème de la valeur initiale de la partie a.
  3. Selon ce modèle, quelle sera la population de années? Rappelons que le temps de doublement prédit par Johnson pour la population de cerfs était années. Comment ces valeurs se comparent-elles ?
  4. Supposons que la population réussisse à atteindre cerf. Qu'est-ce que l'équation logistique prédit qu'il arrivera à la population dans ce scénario ?
  1. Le problème de la valeur initiale est
  2. L'équation logistique est une équation différentielle autonome, on peut donc utiliser la méthode de séparation des variables.
    Étape 1 : Définir le côté droit égal à zéro donne et Cela signifie que si la population commence à zéro, elle ne changera jamais, et si elle commence à la capacité de charge, elle ne changera jamais.
    Étape 2 : Réécrivez l'équation différentielle et multipliez les deux membres par :


Divisez les deux côtés par


Étape 3 : Intégrez les deux membres de l'équation en utilisant la décomposition en fractions partielles :


Étape 4 : Multipliez les deux côtés par et utilisez la règle du quotient pour les logarithmes :


Ici Ensuite, exponentez les deux côtés et éliminez la valeur absolue :


Ici mais après avoir éliminé la valeur absolue, elle peut également être négative. Résolvez maintenant pour :


Étape 5 : Pour déterminer la valeur de il est en fait plus facile de revenir quelques pas en arrière là où a été défini. En particulier, utilisez l'équation


La condition initiale est Remplacer avec et avec zéro :


Diviser le numérateur et le dénominateur par donne


(Figure) est un graphique de cette équation.

Courbe logistique pour la population de cerfs avec une population initiale de cerf.


La solution générale de l'équation différentielle resterait la même.


Pour déterminer la valeur de la constante, revenez à l'équation


Substituer les valeurs et vous obtenez


Cette équation est représentée graphiquement dans (Figure).

Courbe logistique pour la population de cerfs avec une population initiale de cerf.

Résoudre l'équation différentielle logistique

L'équation différentielle logistique est une équation différentielle autonome, nous pouvons donc utiliser la séparation des variables pour trouver la solution générale, comme nous venons de le faire dans (Figure).

Étape 1 : La définition du côté droit égal à zéro conduit à et comme solutions constantes. La première solution indique que lorsqu'il n'y a pas d'organismes présents, la population ne croîtra jamais. La deuxième solution indique que lorsque la population démarre à la capacité de charge, elle ne changera jamais.

Étape 2 : Réécrire l'équation différentielle sous la forme

Puis multipliez les deux côtés par et diviser les deux côtés par Cela mène à

Multipliez les deux membres de l'équation par et intégrer :

Le membre de gauche de cette équation peut être intégré en utilisant la décomposition en fractions partielles. Nous vous laissons vérifier que

Alors l'équation devient

Exposez maintenant les deux côtés de l'équation pour éliminer le logarithme népérien :

Nous définissons de sorte que l'équation devient

Pour résoudre cette équation pour multiplier d'abord les deux côtés par et recueillir les termes contenant à gauche de l'équation :

Ensuite, facteur du côté gauche et diviser les deux côtés par l'autre facteur :

La dernière étape consiste à déterminer la valeur de La façon la plus simple de le faire est de remplacer et au lieu de dans (Figure) et résoudre pour

Enfin, remplacez l'expression par dans (Figure):

Multipliez maintenant le numérateur et le dénominateur du membre de droite par et simplifier :

Nous énonçons ce résultat sous forme de théorème.

Considérons l'équation différentielle logistique soumise à une population initiale de avec capacité de charge et taux de croissance La solution du problème correspondant aux valeurs initiales est donnée par

Maintenant que nous avons la solution au problème de la valeur initiale, nous pouvons choisir des valeurs pour et et étudier la courbe de solution. Par exemple, dans (Figure) nous avons utilisé les valeurs et une population initiale de cerf. Cela conduit à la solution

Diviser le haut et le bas par donne

C'est la même que la solution d'origine. Le graphe de cette solution est à nouveau représenté en bleu dans (Figure), superposé au graphe du modèle de croissance exponentielle avec population initiale et taux de croissance (apparaissant en vert). La ligne pointillée rouge représente la capacité de charge et est une asymptote horizontale pour la solution de l'équation logistique.

Une comparaison de la croissance exponentielle par rapport à la croissance logistique pour la même population initiale de organismes et taux de croissance de

En partant de l'hypothèse que la population croît selon l'équation différentielle logistique, ce graphique prédit qu'environ ans plus tôt la croissance de la population était très proche de l'exponentielle. Le taux de croissance net à l'époque aurait été d'environ

par an. Au fil du temps, les deux graphiques se séparent. Cela se produit parce que la population augmente et que l'équation différentielle logistique indique que le taux de croissance diminue à mesure que la population augmente. Au moment où la population a été mesurée elle était proche de la capacité de charge et la population commençait à se stabiliser.

La solution de l'équation différentielle logistique a un point d'inflexion. Pour trouver ce point, définissez la dérivée seconde égale à zéro :

Mettre le numérateur à zéro,

Tant que la quantité totale avant et y compris est différent de zéro, nous pouvons donc le diviser :

Résoudre pour

Remarquez que si alors cette quantité est indéfinie, et le graphe n'a pas de point d'inflexion. Dans le graphique logistique, le point d'inflexion peut être considéré comme le point où le graphique passe de concave vers le haut à concave vers le bas. C'est là que le « plafonnement » commence à se produire, car le taux de croissance net devient plus lent à mesure que la population commence à se rapprocher de la capacité de charge.

On observe une population de lapins dans un pré lapins à la fois Après un mois, la population de lapins a augmenté de

En utilisant une population initiale de et un taux de croissance de avec une capacité de charge de lapins,

  1. Écrivez l'équation différentielle logistique et la condition initiale pour ce modèle.
  2. Dessinez un champ de pente pour cette équation différentielle logistique et esquissez la solution correspondant à une population initiale de lapins.
  3. Résoudre le problème de la valeur initiale pour
  4. Utilisez la solution pour prédire la population après année.

Après mois, la population sera lapins.

Déterminer d'abord les valeurs de et Créez ensuite le problème de la valeur initiale, dessinez le champ de direction et résolvez le problème.

Une amélioration du modèle logistique comprend une population seuil. La population seuil est définie comme étant la population minimale nécessaire à la survie de l'espèce. On utilise la variable pour représenter la population seuil. Une équation différentielle qui intègre à la fois la population seuil et capacité de charge est

représente le taux de croissance, comme précédemment.

  1. La population seuil est utile aux biologistes et peut être utilisée pour déterminer si une espèce donnée doit être placée sur la liste des espèces menacées. Un groupe de chercheurs australiens affirme avoir déterminé le seuil de population pour que n'importe quelle espèce survive : adultes. (Catherine Clabby, « Un nombre magique », Scientifique américain 98(1) : 24, doi : 10.1511/2010.82.24. consulté le 9 avril 2015, http://www.americanscientist.org/issues/pub/a-magic-number). C'est pourquoi nous utilisons comme population seuil dans ce projet. Supposons que la capacité de charge environnementale au Montana pour le wapiti soit Mettre en place (Figure) en utilisant la capacité de charge de et population seuil de Supposons un taux de croissance annuel net de
  2. Dessiner le champ de direction pour l'équation différentielle à partir de l'étape ainsi que plusieurs solutions pour différentes populations initiales. Quelles sont les solutions constantes de l'équation différentielle ? À quoi correspondent ces solutions dans le modèle de population d'origine (c'est-à-dire dans un contexte biologique) ?
  3. Quelle est la population limite pour chaque population initiale que vous avez choisie à l'étape (Astuce : utilisez le champ de pente pour voir ce qui se passe pour différentes populations initiales, c'est-à-dire recherchez les asymptotes horizontales de vos solutions.)
  4. Cette équation peut être résolue en utilisant la méthode de séparation des variables. Cependant, il est très difficile d'obtenir la solution en fonction explicite de En utilisant une population initiale de elk, résolvez le problème de la valeur initiale et exprimez la solution comme une fonction implicite de ou résoudre le problème général de la valeur initiale, en trouvant une solution en termes de

Concepts clés

  • Lors de l'étude des fonctions de population, différentes hypothèses, telles que la croissance exponentielle, la croissance logistique ou la population seuil, conduisent à des taux de croissance différents.
  • L'équation différentielle logistique intègre le concept de capacité de charge. Cette valeur est une valeur limite sur la population pour un environnement donné.
  • L'équation différentielle logistique peut être résolue pour n'importe quel taux de croissance positif, population initiale et capacité de charge.

Équations clés

  • Équation différentielle logistique et problème de la valeur initiale
  • Solution au problème d'équation différentielle logistique/valeur initiale
  • Modèle de population seuil

Pour les problèmes suivants, considérons l'équation logistique sous la forme Dessinez le champ directionnel et trouvez la stabilité des équilibres.


semi-stable

Résoudre l'équation logistique de et une condition initiale de

Résoudre l'équation logistique de et une condition initiale de

Une population de cerfs à l'intérieur d'un parc a une capacité de charge de et un taux de croissance de

Si la population initiale est cerf, quelle est la population de cerfs à un moment donné?

Une population de grenouilles dans un étang a un taux de croissance de Si la population initiale est grenouilles et la capacité de charge est quelle est la population de grenouilles à un moment donné ?

[T] Les bactéries se multiplient à une vitesse de par heure dans une boîte de Pétri. S'il y a initialement une bactérie et une capacité de charge de millions de cellules, combien de temps faut-il pour atteindre cellules?

les heures minutes

[T] Les lapins dans un parc ont une population initiale de et croître à un rythme de par an. Si la capacité de charge est à quelle heure la population atteint lapins?

[T] Deux singes sont placés sur une île. Après années, il y a singes, et la capacité de charge estimée est singes. Quand la population de singes atteint-elle singes?

années mois

[T] Un sanctuaire de papillons est construit qui peut contenir papillons et les papillons sont d'abord déplacés. Si après des mois il y a maintenant papillons, quand la population arrive-t-elle à des papillons ?

Les problèmes suivants considèrent l'équation logistique avec un terme ajouté pour l'épuisement, soit par la mort, soit par l'émigration.

[T] La population de truites dans un étang est donnée par la truite est pêchée chaque année. Utilisez votre calculatrice ou votre logiciel informatique pour tracer un champ directionnel et quelques exemples de solutions. Qu'attendez-vous du comportement ?

Dans le problème précédent, quelles sont les stabilités des équilibres

[T] Pour le problème précédent, utilisez un logiciel pour générer un champ directionnel pour la valeur Quelles sont les stabilités des équilibres ?


semi-stable

[T] Pour les problèmes précédents, utilisez un logiciel pour générer un champ directionnel pour la valeur Quelles sont les stabilités des équilibres ?

[T] Pour les problèmes précédents, considérons le cas où un certain nombre de poissons sont ajoutés à l'étang, ou Quels sont les équilibres non négatifs et leurs stabilités ?


stable

Il est plus probable que la quantité de pêche soit régie par le nombre actuel de poissons présents, donc au lieu d'un nombre constant de poissons capturés, le taux est proportionnel au nombre actuel de poissons présents, avec une proportionnalité constante comme

[T] Pour le problème de pêche précédent, tracez un champ directionnel en supposant Dessinez des solutions qui présentent ce comportement. Quels sont les équilibres et quelles sont leurs stabilités ?

[T] Utilisez un logiciel ou une calculatrice pour dessiner des champs directionnels pour Quels sont les équilibres non négatifs et leurs stabilités ?


est semi-stable

[T] Utilisez un logiciel ou une calculatrice pour dessiner des champs directionnels pour Quels sont les équilibres et leurs stabilités ?

Résoudre cette équation en supposant une valeur de et une condition initiale de poisson.

Résoudre cette équation en supposant une valeur de et une condition initiale de poisson.

Les problèmes suivants ajoutent une valeur seuil minimale pour la survie de l'espèce, qui change l'équation différentielle en

Dessinez le champ directionnel de l'équation logistique de seuil, en supposant Quand la population survit-elle ? Quand s'éteint-il ?

Pour le problème précédent, résolvez l'équation du seuil logistique, en supposant la condition initiale

Les tigres du Bengale dans un parc de conservation ont une capacité de charge de et besoin d'un minimum de survivre. S'ils croissent en population à un taux de par an, avec une population initiale de tigres, résolvez le nombre de tigres présents.

Une forêt contenant des lémurs catta à Madagascar a le potentiel de soutenir individus, et la population de lémuriens augmente à un taux de par an. Un minimum de individus est nécessaire pour que les lémuriens survivent. Étant donné une population initiale de lémuriens, résoudre pour la population de lémuriens.

La population de pumas du nord de l'Arizona a une capacité de charge estimée à et croît à un rythme de par an et il doit y avoir pour que la population survive. Avec une population initiale de pumas, combien d'années faudra-t-il pour retirer les pumas de la liste des espèces menacées (au moins

années mois

Les questions suivantes examinent l'équation de Gompertz, une modification de la croissance logistique, qui est souvent utilisée pour modéliser la croissance du cancer, en particulier le nombre de cellules tumorales.

L'équation de Gompertz est donnée par Dessinez les champs directionnels pour cette équation en supposant que tous les paramètres sont positifs, et étant donné que

Supposons que pour une population, et Dessinez le champ directionnel associé à cette équation différentielle et dessinez quelques solutions. Quel est le comportement de la population ?

Résoudre l'équation de Gompertz pour le générique et et

[T] L'équation de Gompertz a été utilisée pour modéliser la croissance tumorale dans le corps humain. À partir d'une cellule tumorale par jour et en supposant et une capacité de charge de millions de cellules, combien de temps faut-il pour atteindre le stade de « détection » à millions de cellules ?

jours

[T] On estime que la population humaine mondiale a atteint milliards de personnes dans et milliards de En supposant une capacité de charge de milliards d'humains, écrivez et résolvez l'équation différentielle de la croissance logistique et déterminez en quelle année la population a atteint milliard.

[T] On estime que la population humaine mondiale a atteint milliards de personnes dans et milliards de En supposant une capacité de charge de milliards d'humains, écrivez et résolvez l'équation différentielle de la croissance de Gompertz, et déterminez en quelle année la population a atteint milliard. La croissance logistique ou la croissance de Gompertz était-elle plus précise, compte tenu de la population mondiale atteinte milliards en octobre

septembre

Montrer que la population croît le plus rapidement lorsqu'elle atteint la moitié de la capacité de charge pour l'équation logistique

Quand la population augmente-t-elle le plus rapidement dans l'équation logistique de seuil

Quand la population augmente-t-elle le plus rapidement pour l'équation de Gompertz

Vous trouverez ci-dessous un tableau des populations de grues blanches à l'état sauvage de La population a rebondi après une quasi-extinction après le début des efforts de conservation. Les problèmes suivants envisagent d'appliquer des modèles de population pour ajuster les données. Supposons une capacité de charge de grues. Ajuster les données en supposant des années depuis (donc votre population initiale au moment serait grues).

La source: https://www.savingcranes.org/images/stories/site_images/conservation/whooping_crane/pdfs/historic_wc_numbers.pdf
Année (années depuis le début de la conservation) Population de grue blanche

Trouver l'équation et le paramètre qui correspondent le mieux aux données de l'équation logistique.

Trouver l'équation et les paramètres et qui correspondent le mieux aux données de l'équation logistique de seuil.

Trouver l'équation et le paramètre qui correspondent le mieux aux données de l'équation de Gompertz.

Représentez graphiquement les trois solutions et les données sur le même graphique. Quel modèle semble être le plus précis ?

En utilisant les trois équations trouvées dans les problèmes précédents, estimez la population dans (année après conservation). La population réelle mesurée à l'époque était Quel modèle est le plus précis ?

La logistique: Seuil: Gompertz :

Glossaire

capacité de charge la population maximale d'un organisme que l'environnement peut supporter indéfiniment taux de croissance la constante dans la fonction de croissance exponentielle population initiale la population au moment équation différentielle logistique une équation différentielle qui incorpore la capacité de charge et taux de croissance dans une ligne de phase d'un modèle de population une représentation visuelle du comportement des solutions d'une équation différentielle autonome soumise à diverses conditions initiales population seuil la population minimale nécessaire à la survie d'une espèce

5.4 : Solution logistique - Biologie

Instructeur : Professeur Junping Shi

Chapitre 1 : Dérivation des équations de réaction-diffusion (18 pages)
Chapitre 2 : Equation de diffusion sur un domaine borné (22 pages)
Chapitre 3 : Diffusion avec source ponctuelle
Chapitre 4 : Équations de réaction-diffusion scalaires non linéaires
Chapitre 5 : Systèmes de diffusion de la réaction

1/19 Introduction Conférence 1
1/24 Revue de calcul, revue de modèles de population de base Cours 2
1/26 Nondimensionnement, dérivation de modèles de réaction-diffusion
Conférence 3
2/9 Mouvement brownien et diffusion (Paul Dunlap)
2/16 Papier de Fisher 1937 (Ryan Carpenter)
2/21 Équation de diffusion non linéaire (Daniel Grady)
23/2 L'article de Skellam de 1953 (Patrick Lucey)
2/28 Une solution approchée de l'équation de Fisher en grande dimension (Fumie Hirata)
2/28 Solution exacte d'onde progressive pour l'équation de diffusion avec effet Allee (Tina Little)
3/21 Evolution et dispersion des gènes, équation de Fisher Leçon 4 (powerpoint)
3/30 Stabilité des systèmes dynamiques et instabilité de Turing Cours 5
4/4 Instabilité de Turing et bifurcation Cours 6 Modèles de Turing dans le pelage des animaux
4/6 Modèle de chimiotaxie et moisissure visqueuse
Conférence 7
4/11
Une équation de réaction-advection-diffusion à partir d'un mélange chimique chaotique Cours 8
4/13 Solutions périodiques de systèmes Cours 9

Devoir
([S] est les notes de cours de Shi, [B] est le livre de Britton)

Devoir 1 (échéance 1/31, mardi) : [B] page 15 (1.6, 1.8), [S] Chapitre 1 (1,2,3,4,10)
Devoir 2 (échéance 2/8, mercredi) : [B] page 153 (5.5,5.7) [S] Chapitre 1 (8,9,13) Chapitre 2 (2,4,5)
Devoir 3 (du 15/02, mercredi): [S] Chapitre 2 (7(vous pouvez utiliser le résultat de 6), 12,14)
Howework 4 (échéance 2/22, mercredi) : [B] page 158 (5.9, 5.11) et problèmes suivants :
(1) Trouver une onde progressive exacte d'équation u_t=D u_+ku(1-u^m), où D>0, k>0 et m>0.
(Indice : utilisez Maple, et la forme de la solution est u(x,t)=v(x-ct), v(z)=1/(1+exp(az))^<2/m>
(2) (facultatif, je ne connais pas la réponse ou si une réponse existe)
Trouver une onde progressive exacte d'équation u_t=D u_+ku^m(1-u), où D>0, k>0 et m>1.
(Indice : utilisez Maple, et peut-être aussi la même forme que ci-dessus, mais je n'ai pas de solution pour celle-ci)
Devoir 5 (à rendre le 29/3 mercredi)
(1) [S] Chapitre 4 (5) Vous n'avez pas besoin d'écrire le code Maple réel, mais d'écrire le "psedo-code" qui reflète les conditions aux limites de Robin.
(2) [S] Chapitre 4 (11) (Indice : utilisez Maple pour résoudre u_2)

Projets/Présentations

  1. Équation de diffusion du mouvement brownien (article original de Robert Brown en 1827, article (et traduction en anglais) d'Albert Einstein en 1905, notes de cours du cours ouvert du MIT, voir la conférence 1 ici)
  2. Transformée de Fourier en équation de diffusion et musique (http://www.mathreference.com/la-xf-four,intro.html)
  3. Fisher, RA 1937 La vague de progrès des gènes avantageux. Annals of Eugenics, 7:355-369 (papier)
  4. Dériver un modèle d'agrégation animale (article de Turchin : Population conséquences of aggregative movement. Journal of Animal Ecology 58, (1989), 75-100.)
  5. Solution de l'équation des milieux poreux (page 339-343, Elements of Mathematical Ecology. Par Mark Kot, Cambridge University Press, (2001) page 402-405, Mathematical Biology, Vol. 1 : An Introduction. Par James Dickson Murray, Springer-Verlag , New York, (2002).)
  6. Skellam, JG, 1951 Dispersion aléatoire dans les populations théoriques, Biometrika (article)
  7. Fonctions propres du Laplacien pour les balles en 2D et 3D
  8. Déduire la solution analytique de l'équation logistique diffusive avec source ponctuelle ( S. Puri, K. R. Elder et R. C. Desai, Solutions asymptotiques approximatives à l'équation de Fisher à dimension d, Phys. Lett. UNE, 142, 357 (1989).) article de la bibliothèque de physique
  9. Dériver la solution analytique de la solution des ondes progressives de l'équation logistique diffusive (équation de Fisher avec diffusion dépendante de la densité: solutions spéciales, S Harris 2004 J. Phys. A 37 6267-6268 papier)
  10. Déduire la solution exacte d'un modèle de population avec migration dépendante de la densité et effet Allee ( Petrovskii, Sergei Li, Bai-Lian, Un modèle de dynamique de population exactement soluble avec migrations dépendantes de la densité et effet Allee. Math. Biosci.186 (2003), non. 1, 79--91. papier)
  11. Janet Raloff, À la recherche de réponses : les chaluts profonds laissent la destruction dans leur sillage --- mais pour combien de temps ? Science News, 150 (1996) 268--271. (Section 16 de Taubes, Modélisation des équations différentielles en biologie, 2000, pages 246-257)
  1. Déduire et résoudre Black-ScholesPDE en finance. ( P. Dunlap)
  2. Modélisation tumorale ([B] Chapitre 8) ( M. Zuk )
  3. Chimiotaxie ([B] 5.3 et 7.6 et autres)
  4. Déduire et analyser l'équation de FitzHugh-Nagumo ([B] 6.4 et autres) . (P. Lucey)
  5. Onde progressive dans les modèles épidémiques ([B] Chapitre 3 et 5.7 et autres)
  6. Onde progressive en environnement périodique
  7. Réaction-diffusion en milieu hétérogène (taux de diffusion différent correspondant à la qualité de l'habitat)
  8. Invasion et évolution de la vitesse chez les crapauds australiens (article Nature du 16 février 2006) (D. Bigelow)
  9. Motifs réguliers et irréguliers dans la végétation semi-aride (article de Klausmeier, Science, Vol. 284, 1826--1828, 1999) ( D. LaMontagne )
  10. Diversité des modèles de végétation et désertification (article de von Hardenberg, et.al. Phys. Rev. Let, 198101, 2001) ( T. Little )
  11. Une équation de réaction-advection-diffusion à partir d'un mélange chimique chaotique (article de Neufeld, et al, Chaos, Vol 12, 426-438, 2002, article de Menon, et al, Phys. Rev. E. Vol 71, 066201 2005, et prépublication par le professeur Shi)
  12. Solution de bifurcation et de période dans les systèmes de réaction-diffusion de l'interaction prédateur-proie
  13. Réactions chimiques autocatalytiques (article de Rovinsky et al Phys Rev A, Vol 46, 6315--6322, article de 1992 de Horvath, et.al, 1997) ( R. Carpenter )
  14. Équation intégro-différentielle avec croissance logistique à partir de la croissance démographique
  15. Équation logistique non locale (article de Schnerb, Phys. Rev. E Vol 69, 061917 (2004), article de Fuentes, et al Phys. Rev. Lett. 91, 158104 (2003))
  16. Synchronisation dans les modèles de réaction-diffusion de la conduction neurale. (L. Osborne)
  17. Solutions de type vague pour l'équation de Fisher en dimension supérieure. (F. Hirata)
  18. Méthodes numériques des équations et systèmes de réaction-diffusion

Programmes Maple et Matlab

Graphiques en 3D : Démonstration des commandes Maple pour les graphiques en 3D
Devoir 1 : réponse du devoir 1 (prob 1-3), et résoudre des équations différentielles
Série de Fourier d'une solution d'équation de diffusion : Démontrer l'effet d'étouffement de la diffusion
Équations différentielles : montrer comment résoudre le problème de la valeur initiale, le problème de la valeur limite de l'ODE et de l'EDP
Conditions aux limites et effet de lissage Démontrer l'effet de différentes conditions aux limites et l'effet de lissage de la diffusion
Problème chimique : montrez comment résoudre le problème de mélange chimique
Condition aux limites de Robin : calcul des valeurs propres aux limites de Robin et taille critique des patchs
Modèle diffusif de Malthus : montrer l'effet de différents taux de croissance sur le sort de la population qui vit dans une région délimitée
Motifs de fonction propre en 2-d : motifs spatiaux des fonctions propres du Laplacien sur un carré
Diffusion avec une source ponctuelle : simulation des solutions fondamentales en 1-d et 2-d
Diffusion avec une source continue : simulation de solution de l'équation de diffusion sur une demi droite à valeur fixe à x=0
Problème de déversement de carburant : résoudre le problème de déversement de carburant dans la section 3.3
Dispersion du rat musqué : utilisez la fonction d'ajustement des données pour correspondre à la croissance de la population de rats musqués
Onde progressive de l'équation de Fisher : montrez une solution exacte de l'onde progressive de l'équation de Fisher
Onde progressive de l'équation de Fisher généralisée :
calculer une solution exacte d'onde progressive de l'équation de Fisher généralisée
u_t=D u_+ku(1-u^m), où D>0, k>0 et m>0.

Solution auto-similaire de l'équation de diffusion : calculez les solutions auto-similaires des équations de diffusion linéaires et non linéaires
Problème de la spongieuse : calculez la vitesse d'invasion de la spongieuse dans l'est des États-Unis

Equations aux différences pour l'évolution des gènes prog1 prog2

Programmes Matlab simulant des équations et des systèmes R-D :
Programmes de Marcus Garvie (Florida State University)
Programmes par
Julijana Gjorgjieva (Collège Harvey Mudd)

Ouvrages de référence en biologie mathématique

    • Biologie Mathématique, Vol. 1 : Une introduction. Par James Dickson Murray, Springer-Verlag, New York, (2002).
    • Biologie Mathématique, Vol. 2 : Modèles spatiaux et applications biomédicales. Par James Dickson Murray, Springer-Verlag, New York, (2002).
    • Modèles mathématiques en biologie. Par Leah Edelstein-Keshet, McGraw-Hill, Boston, (1988). SIAM (2005).
    • Éléments d'écologie mathématique. Par Mark Kot, Cambridge University Press, (2001).
    • Diffusion et problèmes écologiques : perspectives modernes. Par Akira Okubo, Simon A. Levin, Springer-Verlag, New York, (2001).
    • Analyse quantitative du mouvement : mesure et modélisation de la redistribution des populations chez les animaux et les plantes. Par Peter Turchin, Sinauer Associates, Inc, (1998).

    Modélisation des systèmes biologiques, Un atelier à la National Science Foundation en 1996

    Pourquoi la biologie mathématique est-elle si difficile ? Michael C. Reed, Avis de l'American Mathematical Society, mars 2004.

    Défis mathématiques en écologie spatiale Claudia Neuhauser, Avis de l'American Mathematical Society, décembre 2001.

    We Got Rhythm : Systèmes dynamiques du système nerveux Nancy Kopell, Avis de l'American Mathematical Society, janvier 2000.

    Initiation à la biologie mathématique Frank Hoppensteadt, Notices of American Mathematical Society, septembre 1995.

    Quelques conseils aux jeunes biologistes mathématiques Kenneth Lange, (depuis Internet), date inconnue.

    Comment le léopard obtient-il ses taches ? James Murray, Scientific American, 258(3) : 80-87, 1988.


    Fonction logistique

    La fonction logistique a été introduite dans une série de trois articles de Pierre François Verhulst entre 1838 et 1847, qui l'a conçue comme un modèle de croissance démographique en ajustant le modèle de croissance exponentielle, sous la direction d'Adolphe Quetelet. [2] Verhulst a d'abord conçu la fonction au milieu des années 1830, publiant une brève note en 1838, [1] a ensuite présenté une analyse élargie et nommé la fonction en 1844 (publié en 1845) [a] [3] le troisième article a ajusté la correction terme dans son modèle de croissance démographique belge. [4]

    Le stade initial de croissance est approximativement exponentiel (géométrique) puis, lorsque la saturation commence, la croissance ralentit pour devenir linéaire (arithmétique), et à maturité, la croissance s'arrête. Verhulst n'a pas expliqué le choix du terme « logistique » (français : logistique), mais il est vraisemblablement en contraste avec le logarithmique courbe, [5] [b] et par analogie avec l'arithmétique et la géométrique. Son modèle de croissance est précédé d'une discussion sur la croissance arithmétique et la croissance géométrique (dont il appelle la courbe une courbe logarithmique, au lieu du terme moderne courbe exponentielle), et donc la « croissance logistique » est vraisemblablement nommée par analogie, la logistique étant du grec ancien : λογῐστῐκός , romanisé : logistikós, une division traditionnelle des mathématiques grecques. [c] Le terme n'est pas lié au terme militaire et de gestion logistique, qui est plutôt du français : logis « logements », bien que certains pensent que le terme grec a également influencé logistique voir Logistique § Origine pour plus de détails.

    Les fonction logistique standard est la fonction logistique avec les paramètres k = 1 , x 0 = 0 =0> , L = 1 , ce qui donne

    La fonction logistique a la propriété de symétrie que

    La fonction logistique est une fonction tangente hyperbolique décalée et mise à l'échelle :

    Dérivé Modifier

    La fonction logistique standard a une dérivée facile à calculer. La dérivée est connue sous le nom de distribution logistique :

    Intégral Modifier

    Dans les réseaux de neurones artificiels, c'est ce qu'on appelle le softplus fonction et (avec mise à l'échelle) est une approximation douce de la fonction de rampe, tout comme la fonction logistique (avec mise à l'échelle) est une approximation douce de la fonction échelon de Heaviside.

    Equation différentielle logistique Modifier

    La fonction logistique standard est la solution de l'équation différentielle ordinaire non linéaire du premier ordre

    avec condition aux limites f ( 0 ) = 1 / 2 . Cette équation est la version continue de la carte logistique. Notez que la fonction logistique réciproque est solution à un simple premier ordre linéaire équation différentielle ordinaire. [6]

    L'équation logistique est un cas particulier de l'équation différentielle de Bernoulli et a la solution suivante :

    Plus quantitativement, comme le montre la solution analytique, la courbe logistique montre une croissance exponentielle précoce pour l'argument négatif, qui ralentit à une croissance linéaire de la pente 1/4 pour un argument proche de 0, puis se rapproche de 1 avec un écart décroissant exponentiellement.

    La fonction logistique est l'inverse de la fonction logit naturelle et peut donc être utilisée pour convertir le logarithme des cotes en probabilité. En notation mathématique, la fonction logistique est parfois écrite sous la forme quitter [7] sous la même forme que logit. La conversion du rapport de vraisemblance log de deux alternatives prend également la forme d'une courbe logistique.

    L'équation différentielle dérivée ci-dessus est un cas particulier d'équation différentielle générale qui modélise uniquement la fonction sigmoïde pour x > 0 . Dans de nombreuses applications de modélisation, plus Forme générale [8]

    peut être souhaitable. Sa solution est le sigmoïde décalé et mis à l'échelle a S ( k ( x − r ) ) k(x-r)<ig )>> .

    La relation hyperbolique-tangente conduit à une autre forme pour la dérivée de la fonction logistique :

    qui lie la fonction logistique à la distribution logistique.

    Symétrie de rotation sur (0, 1/2) Modifier

    La somme de la fonction logistique et de sa réflexion sur l'axe vertical, f ( − x ) , est

    La fonction logistique est donc à symétrie de révolution autour du point (0, 1/2). [9]

    Link [10] a créé une extension de la théorie de l'analyse séquentielle de Wald à une accumulation sans distribution de variables aléatoires jusqu'à ce qu'une limite positive ou négative soit d'abord égalée ou dépassée. Link [11] dérive la probabilité d'égaler ou de dépasser d'abord la frontière positive comme ( 1 + e − θ A ) )> , la fonction Logistique. C'est la première preuve que la fonction Logistique peut avoir comme base un processus stochastique. Link [12] fournit un siècle d'exemples de résultats expérimentaux "logistiques" et une relation nouvellement dérivée entre cette probabilité et le temps d'absorption aux frontières.

    En écologie : modéliser la croissance démographique Modifier

    Une application typique de l'équation logistique est un modèle commun de croissance de la population (voir aussi la dynamique de la population), à l'origine dû à Pierre-François Verhulst en 1838, où le taux de reproduction est proportionnel à la fois à la population existante et à la quantité de ressources disponibles, tout le reste étant égal. L'équation de Verhulst a été publiée après que Verhulst eut lu Thomas Malthus Essai sur le principe de population, qui décrit le modèle de croissance malthusien de croissance exponentielle simple (sans contrainte). Verhulst a dérivé son équation logistique pour décrire la croissance auto-limitée d'une population biologique. L'équation a été redécouverte en 1911 par A. G. McKendrick pour la croissance de bactéries dans un bouillon et testée expérimentalement à l'aide d'une technique d'estimation de paramètres non linéaires. [13] L'équation est aussi parfois appelée la Équation de Verhulst-Pearl après sa redécouverte en 1920 par Raymond Pearl (1879-1940) et Lowell Reed (1888-1966) de l'Université Johns Hopkins. [14] Un autre scientifique, Alfred J. Lotka a de nouveau dérivé l'équation en 1925, l'appelant le loi de la croissance démographique.

    Capacité de charge variable dans le temps Modifier

    Étant donné que les conditions environnementales influencent la capacité de charge, elle peut donc varier dans le temps, avec K ( t ) > 0 , conduisant au modèle mathématique suivant :

    Un cas particulièrement important est celui de la capacité de charge qui varie périodiquement avec la période T :

    Une autre généralisation intéressante est de considérer que la capacité de charge K ( t ) est fonction de la population à un moment antérieur, capturant un retard dans la façon dont la population modifie son environnement. Cela conduit à une équation de retard logistique, [15] qui a un comportement très riche, avec une bistabilité dans une certaine plage de paramètres, ainsi qu'une décroissance monotone jusqu'à zéro, une croissance exponentielle lisse, une croissance illimitée ponctuée (c'est-à-dire plusieurs formes en S), croissance ou alternance ponctuée vers un niveau stationnaire, approche oscillatoire vers un niveau stationnaire, oscillations durables, singularités en temps fini ainsi que mort en temps fini.

    Dans les statistiques et l'apprentissage automatique Modifier

    Les fonctions logistiques sont utilisées dans plusieurs rôles dans les statistiques. Par exemple, ils sont la fonction de distribution cumulative de la famille logistique des distributions, et ils sont, un peu simplifiés, utilisés pour modéliser la chance qu'a un joueur d'échecs de battre son adversaire dans le système de notation Elo. Des exemples plus spécifiques suivent maintenant.

    Régression logistique Modifier

    Les fonctions logistiques sont utilisées dans la régression logistique pour modéliser comment la probabilité p d'un événement peut être affectée par une ou plusieurs variables explicatives : un exemple serait d'avoir le modèle

    La régression logistique et d'autres modèles log-linéaires sont également couramment utilisés dans l'apprentissage automatique. Une généralisation de la fonction logistique à plusieurs entrées est la fonction d'activation softmax, utilisée dans la régression logistique multinomiale.

    Une autre application de la fonction logistique se trouve dans le modèle de Rasch, utilisé dans la théorie de la réponse aux items. En particulier, le modèle de Rasch constitue une base pour l'estimation du maximum de vraisemblance des emplacements d'objets ou de personnes sur un continuum, basée sur des collections de données catégorielles, par exemple les capacités des personnes sur un continuum basées sur des réponses qui ont été classées comme correctes et Incorrect.

    Réseaux de neurones Modifier

    Les fonctions logistiques sont souvent utilisées dans les réseaux de neurones pour introduire la non-linéarité dans le modèle ou pour bloquer les signaux dans un intervalle spécifié. Un élément de réseau neuronal populaire calcule une combinaison linéaire de ses signaux d'entrée et applique une fonction logistique limitée comme fonction d'activation au résultat. Ce modèle peut être considéré comme une variante « lissée » du neurone à seuil classique.

    Un choix courant pour les fonctions d'activation ou de "squashing", utilisées pour écrêter de grandes amplitudes afin de maintenir la réponse du réseau de neurones bornée [16] est

    qui est une fonction logistique.

    Ces relations se traduisent par des implémentations simplifiées de réseaux de neurones artificiels avec des neurones artificiels. Les praticiens avertissent que les fonctions sigmoïdes qui sont antisymétriques par rapport à l'origine (par exemple la tangente hyperbolique) conduisent à une convergence plus rapide lors de la formation de réseaux avec rétropropagation. [17]

    La fonction logistique est elle-même le dérivé d'une autre fonction d'activation proposée, le softplus.

    En médecine : modélisation de la croissance des tumeurs Modifier

    Une autre application de la courbe logistique est en médecine, où l'équation différentielle logistique est utilisée pour modéliser la croissance des tumeurs. Cette application peut être considérée comme une extension de l'utilisation mentionnée ci-dessus dans le cadre de l'écologie (voir aussi la Courbe logistique généralisée, permettant plus de paramètres). Désignant par X ( t ) la taille de la tumeur au temps t , sa dynamique est régie par

    Si une chimiothérapie est démarrée avec un effet log-kill, l'équation peut être révisée pour être

    c'est-à-dire que si le taux moyen de mortalité induite par le traitement est supérieur au taux de prolifération de base, alors il y a éradication de la maladie. Bien sûr, il s'agit d'un modèle simplifié à la fois de la croissance et de la thérapie (par exemple, il ne prend pas en compte le phénomène de résistance clonale).

    En médecine : modélisation d'une pandémie Modifier

    Un nouvel agent pathogène infectieux contre lequel une population n'est pas immunisée se propagera généralement de façon exponentielle dans les premiers stades, alors que l'approvisionnement en individus sensibles est abondant. Le virus SARS-CoV-2 qui cause COVID-19 a présenté une croissance exponentielle au début de l'infection dans plusieurs pays au début de 2020. [18] De nombreux facteurs, allant du manque de sujets susceptibles (soit par la propagation continue de l'infection jusqu'à ce qu'elle passe le seuil d'immunité collective ou la réduction de l'accessibilité des susceptibles par des mesures de distanciation physique), les courbes épidémiques d'allure exponentielle peuvent d'abord se linéariser (reproduisant la transition « logarithmique » vers « logistique » notée pour la première fois par Pierre-François Verhulst, comme indiqué ci-dessus) et puis atteindre une limite maximale. [19]

    Une fonction logistique ou des fonctions connexes (par exemple la fonction Gompertz) sont généralement utilisées de manière descriptive ou phénoménologique car elles s'adaptent bien non seulement à l'augmentation exponentielle précoce, mais aussi à l'éventuelle stabilisation de la pandémie à mesure que la population développe une immunité collective. . Cela contraste avec les modèles réels de pandémies qui tentent de formuler une description basée sur la dynamique de la pandémie (par exemple, les taux de contact, les temps d'incubation, la distanciation sociale, etc.). Certains modèles simples ont été développés, cependant, qui donnent une solution logistique. [20] [21] [22]

    Modélisation de la trajectoire d'infection au COVID-19 Modifier

    Une fonction logistique généralisée, également appelée courbe de croissance de Richards, est largement utilisée dans la modélisation des trajectoires d'infection COVID-19. [23] La trajectoire d'infection est une série chronologique quotidienne de données pour le nombre cumulé de cas infectés pour un sujet tel que le pays, la ville, l'état, etc. Il existe des variantes de reparamétrage dans la littérature : l'une des formes fréquemment utilisées est

    L'un des avantages de l'utilisation de la fonction de croissance telle que la fonction logistique généralisée dans la modélisation épidémiologique est son extension relativement facile au cadre du modèle à plusieurs niveaux en utilisant la fonction de croissance pour décrire les trajectoires d'infection de plusieurs sujets (pays, villes, États, etc.). Un tel cadre de modélisation peut également être largement appelé modèle non linéaire à effets mixtes ou modèle hiérarchique non linéaire. Voir la figure ci-dessus. Un exemple d'utilisation de la fonction logistique généralisée dans le modèle bayésien à plusieurs niveaux est le Modèle de Richards hiérarchique bayésien.

    En chimie : modèles de réaction Modifier

    La concentration des réactifs et des produits dans les réactions autocatalytiques suit la fonction logistique. La dégradation du catalyseur de réaction de réduction de l'oxygène (ORR) sans métal du groupe du platine (sans PGM) dans les cathodes de piles à combustible suit la fonction de décroissance logistique, [24] suggérant un mécanisme de dégradation autocatalytique.

    En physique : distribution de Fermi-Dirac Modifier

    La fonction logistique détermine la distribution statistique des fermions sur les états énergétiques d'un système en équilibre thermique. En particulier, c'est la distribution des probabilités que chaque niveau d'énergie possible soit occupé par un fermion, selon la statistique de Fermi-Dirac.

    En science des matériaux : diagrammes de phases Modifier

    En linguistique : changement de langue Modifier

    En linguistique, la fonction logistique peut être utilisée pour modéliser le changement de langue : [25] une innovation d'abord marginale commence à se répandre plus rapidement avec le temps, puis plus lentement à mesure qu'elle devient plus universellement adoptée.

    En agriculture : modélisation de la réponse des cultures Modifier

    La courbe en S logistique peut être utilisée pour modéliser la réponse des cultures aux changements des facteurs de croissance. Il existe deux types de fonctions de réponse : positif et négatif courbes de croissance. Par exemple, le rendement des cultures peut augmenter avec une valeur croissante du facteur de croissance jusqu'à un certain niveau (fonction positive), ou il peut diminuer avec des valeurs de facteur de croissance croissantes (fonction négative due à un facteur de croissance négatif), laquelle situation nécessite une inversé Courbe S.

    En économie et en sociologie : diffusion des innovations Modifier

    La fonction logistique permet d'illustrer la progression de la diffusion d'une innovation tout au long de son cycle de vie.

    Dans Les lois de l'imitation (1890), Gabriel Tarde décrit l'essor et la diffusion d'idées nouvelles à travers des chaînes imitatives. En particulier, Tarde identifie trois étapes principales par lesquelles se diffusent les innovations : la première correspond aux débuts difficiles, durant lesquels l'idée doit se débattre dans un environnement hostile plein d'habitudes et de croyances opposées la seconde correspond au décollage proprement exponentiel de l'idée, avec f ( x ) = 2 x > enfin, la troisième étape est logarithmique, avec f ( x ) = log ⁡ ( x ) , et correspond au moment où l'impulsion de l'idée ralentit progressivement tout en , simultanément de nouvelles idées d'adversaires apparaissent. La situation qui s'ensuit arrête ou stabilise la progression de l'innovation, qui se rapproche d'une asymptote.

    Dans un État souverain, les unités infranationales (États constitutifs ou villes) peuvent utiliser des prêts pour financer leurs projets. Cependant, cette source de financement est généralement soumise à des règles juridiques strictes ainsi qu'à des contraintes de rareté de l'économie, notamment les ressources que les banques peuvent prêter (du fait de leurs fonds propres ou des limites bâloises). Ces restrictions, qui représentent un niveau de saturation, ainsi qu'une ruée exponentielle dans une compétition économique pour l'argent, créent une diffusion des finances publiques des appels au crédit et la réponse nationale globale est une courbe sigmoïde. [28]

    Dans l'histoire de l'économie, lorsque de nouveaux produits sont introduits, il y a une quantité intense de recherche et de développement qui conduit à des améliorations spectaculaires de la qualité et à des réductions de coûts. Cela conduit à une période de croissance rapide de l'industrie. Certains des exemples les plus célèbres sont : les chemins de fer, les ampoules à incandescence, l'électrification, les voitures et les voyages en avion. Finalement, les opportunités d'amélioration et de réduction des coûts sont épuisées, le produit ou le processus est largement utilisé avec peu de nouveaux clients potentiels restants, et les marchés deviennent saturés.

    L'analyse logistique a été utilisée dans les articles de plusieurs chercheurs de l'Institut international d'analyse des systèmes appliqués (IIASA). Ces articles traitent de la diffusion de diverses innovations, infrastructures et substitutions de sources d'énergie et du rôle du travail dans l'économie ainsi que du cycle économique long. Les cycles économiques longs ont été étudiés par Robert Ayres (1989). [29] Cesare Marchetti a publié sur les cycles économiques longs et sur la diffusion des innovations. [30] [31] Le livre d'Arnulf Grübler (1990) donne un compte rendu détaillé de la diffusion des infrastructures comprenant les canaux, les chemins de fer, les autoroutes et les compagnies aériennes, montrant que leur diffusion a suivi des courbes de forme logistique. [32]

    Carlota Perez a utilisé une courbe logistique pour illustrer le cycle économique long (Kondratiev) avec les étiquettes suivantes : début d'une ère technologique comme irruption, l'ascension comme frénésie, la construction rapide comme synergie et l'achèvement comme maturité. [33]


    Apprentissage automatique interprétable

    Lorsque des entités interagissent les unes avec les autres dans un modèle de prédiction, la prédiction ne peut pas être exprimée comme la somme des effets de caractéristiques, car l'effet d'une caractéristique dépend de la valeur de l'autre caractéristique. Le prédicat d'Aristote "Le tout est plus grand que la somme de ses parties" s'applique en présence d'interactions.

    5.4.1 Interaction des fonctionnalités ?

    Si un modèle d'apprentissage automatique fait une prédiction basée sur deux caractéristiques, nous pouvons décomposer la prédiction en quatre termes : un terme constant, un terme pour la première caractéristique, un terme pour la deuxième caractéristique et un terme pour l'interaction entre les deux caractéristiques.
    L'interaction entre deux caractéristiques est le changement dans la prédiction qui se produit en faisant varier les caractéristiques après avoir pris en compte les effets de caractéristiques individuelles.

    Par exemple, un modèle prédit la valeur d'une maison, en utilisant la taille de la maison (grande ou petite) et son emplacement (bon ou mauvais) comme caractéristiques, ce qui donne quatre prédictions possibles :

    Emplacement Taille Prédiction
    bon gros 300,000
    bon petit 200,000
    mauvais gros 250,000
    mauvais petit 150,000

    Nous décomposons la prédiction du modèle en les parties suivantes : un terme constant (150 000), un effet pour la caractéristique de taille (+100 000 si grand +0 si petit) et un effet pour l'emplacement (+50 000 si bon +0 si mauvais). Cette décomposition explique pleinement les prédictions du modèle. Il n'y a pas d'effet d'interaction, car la prédiction du modèle est une somme des effets de caractéristiques uniques pour la taille et l'emplacement. Lorsque vous agrandissez une petite maison, la prédiction augmente toujours de 100 000, quel que soit l'emplacement. De plus, la différence de prédiction entre un bon et un mauvais emplacement est de 50 000, quelle que soit sa taille.

    Regardons maintenant un exemple avec interaction :

    Emplacement Taille Prédiction
    bon gros 400,000
    bon petit 200,000
    mauvais gros 250,000
    mauvais petit 150,000

    Nous décomposons le tableau de prédiction en les parties suivantes : un terme constant (150 000), un effet pour la caractéristique de taille (+100 000 si grand, +0 si petit) et un effet pour l'emplacement (+50 000 si bon, +0 si mauvais ). Pour ce tableau, nous avons besoin d'un terme supplémentaire pour l'interaction : +100.000 si la maison est grande et bien située. Il s'agit d'une interaction entre la taille et l'emplacement, car dans ce cas, la différence de prédiction entre une grande et une petite maison dépend de l'emplacement.

    Une façon d'estimer la force de l'interaction consiste à mesurer dans quelle mesure la variation de la prédiction dépend de l'interaction des caractéristiques. Cette mesure est appelée statistique H, introduite par Friedman et Popescu (2008) 32 .

    5.4.2 Théorie : statistique H de Friedman

    Nous allons traiter deux cas : d'abord, une mesure d'interaction bidirectionnelle qui nous dit si et dans quelle mesure deux caractéristiques du modèle interagissent l'une avec l'autre, une mesure d'interaction totale qui nous dit si et dans quelle mesure une caractéristique interagit dans le modèle avec toutes les autres fonctionnalités. En théorie, des interactions arbitraires entre un nombre quelconque de caractéristiques peuvent être mesurées, mais ces deux cas sont les plus intéressants.

    Si deux caractéristiques n'interagissent pas, nous pouvons décomposer la fonction de dépendance partielle comme suit (en supposant que les fonctions de dépendance partielle sont centrées sur zéro) :

    où (PD_(x_j,x_k)) est la fonction de dépendance partielle bidirectionnelle des deux caractéristiques et (PD_j(x_j)) et (PD_k(x_k)) les fonctions de dépendance partielle des caractéristiques individuelles.

    De même, si une caractéristique n'a aucune interaction avec l'une des autres caractéristiques, nous pouvons exprimer la fonction de prédiction (hat(x)) comme une somme de fonctions de dépendance partielle, où la première somme ne dépend que de j et la seconde de toutes les autres caractéristiques sauf j :

    où (PD_<-j>(x_<-j>)) est la fonction de dépendance partielle qui dépend de toutes les caractéristiques à l'exception de la j-ième caractéristique.

    Cette décomposition exprime la fonction de dépendance partielle (ou prédiction complète) sans interactions (entre les caractéristiques j et k, ou respectivement j et toutes les autres caractéristiques). Dans une étape suivante, nous mesurons la différence entre la fonction de dépendance partielle observée et la fonction décomposée sans interactions. Nous calculons la variance de la sortie de la dépendance partielle (pour mesurer l'interaction entre deux caractéristiques) ou de la fonction entière (pour mesurer l'interaction entre une caractéristique et toutes les autres caractéristiques). Le montant de la variance expliquée par l'interaction (différence entre les PD observées et sans interaction) est utilisé comme statistique de force d'interaction. La statistique est 0 s'il n'y a aucune interaction et 1 si toute la variance du (PD_) ou (hat) s'explique par la somme des fonctions de dépendance partielle. Une statistique d'interaction de 1 entre deux caractéristiques signifie que chaque fonction PD est constante et que l'effet sur la prédiction ne se fait que par l'interaction. La statistique H peut également être supérieure à 1, ce qui est plus difficile à interpréter. Cela peut se produire lorsque la variance de l'interaction bidirectionnelle est plus grande que la variance du diagramme de dépendance partielle bidimensionnel.

    Mathématiquement, la statistique H proposée par Friedman et Popescu pour l'interaction entre la caractéristique j et k est :

    Il en va de même pour mesurer si une caractéristique j interagit avec une autre caractéristique :

    La statistique H est coûteuse à évaluer, car elle itère sur tous les points de données et à chaque point la dépendance partielle doit être évaluée, ce qui est fait à son tour avec tous les n points de données. Dans le pire des cas, nous avons besoin de 2n 2 appels aux modèles d'apprentissage automatique prédisent la fonction pour calculer la statistique H bidirectionnelle (j contre k) et 3n 2 pour la statistique H totale (j contre tous). Pour accélérer le calcul, nous pouvons échantillonner à partir des n points de données. Cela présente l'inconvénient d'augmenter la variance des estimations de dépendance partielle, ce qui rend la statistique H instable. Donc, si vous utilisez l'échantillonnage pour réduire la charge de calcul, assurez-vous d'échantillonner suffisamment de points de données.

    Friedman et Popescu proposent également une statistique de test pour évaluer si la statistique H diffère significativement de zéro. L'hypothèse nulle est l'absence d'interaction. Pour générer la statistique d'interaction sous l'hypothèse nulle, vous devez pouvoir ajuster le modèle afin qu'il n'ait aucune interaction entre la caractéristique j et k ou toutes les autres. Ce n'est pas possible pour tous les types de modèles. Par conséquent, ce test est spécifique au modèle, non indépendant du modèle et, en tant que tel, n'est pas traité ici.

    La statistique de force d'interaction peut également être appliquée dans un cadre de classification si la prédiction est une probabilité.

    5.4.3 Exemples

    Voyons à quoi ressemblent les interactions de fonctionnalités dans la pratique ! Nous mesurons la force d'interaction des fonctionnalités dans une machine à vecteur de support qui prédit le nombre de vélos loués en fonction des caractéristiques météorologiques et calendaires. Le graphique suivant montre la statistique H d'interaction entre les caractéristiques :

    FIGURE 5.24 : La force d'interaction (statistique H) pour chaque caractéristique avec toutes les autres caractéristiques pour une machine à vecteur de support prédisant les locations de vélos. Globalement, les effets d'interaction entre les caractéristiques sont très faibles (inférieurs à 10 % de variance expliquée par caractéristique).

    Dans l'exemple suivant, nous calculons la statistique d'interaction pour un problème de classification. Nous analysons les interactions entre les caractéristiques d'une forêt aléatoire formée pour prédire le cancer du col de l'utérus, compte tenu de certains facteurs de risque.

    FIGURE 5.25 : La force d'interaction (statistique H) pour chaque caractéristique avec toutes les autres caractéristiques pour une forêt aléatoire prédisant la probabilité de cancer du col de l'utérus. Les années sur les contraceptifs hormonaux ont l'effet d'interaction relatif le plus élevé avec toutes les autres caractéristiques, suivies par le nombre de grossesses.

    Après avoir examiné les interactions des fonctionnalités de chaque fonctionnalité avec toutes les autres fonctionnalités, nous pouvons sélectionner l'une des fonctionnalités et approfondir toutes les interactions bidirectionnelles entre la fonctionnalité sélectionnée et les autres fonctionnalités.

    FIGURE 5.26 : Les forces d'interaction à double sens (statistique H) entre le nombre de grossesses et les autres caractéristiques. Il existe une forte interaction entre le nombre de grossesses et l'âge.

    5.4.4 Avantages

    La statistique H d'interaction a un théorie sous-jacente par la décomposition de dépendance partielle.

    La statistique H a un interprétation significative: L'interaction est définie comme la part de variance expliquée par l'interaction.

    Puisque la statistique est adimensionnelle, il est comparable entre les fonctionnalités et même entre les modèles.

    La statistique détecte toutes sortes d'interactions, quelle que soit leur forme particulière.

    Avec la statistique H, il est également possible d'analyser des données arbitraires interactions plus élevées telles que la force d'interaction entre 3 caractéristiques ou plus.

    5.4.5 Inconvénients

    La première chose que vous remarquerez : la statistique H d'interaction prend beaucoup de temps à calculer, car elle est coûteux en temps de calcul.

    Le calcul consiste à estimer les distributions marginales. Ces les estimations ont aussi une certaine variance si nous n'utilisons pas tous les points de données. Cela signifie que lorsque nous échantillonnons des points, les estimations varient également d'une série à l'autre et la les résultats peuvent être instables. Je recommande de répéter le calcul de la statistique H plusieurs fois pour voir si vous avez suffisamment de données pour obtenir un résultat stable.

    Il n'est pas clair si une interaction est significativement supérieure à 0. Nous aurions besoin de faire un test statistique, mais cela le test n'est pas (encore) disponible dans une version indépendante du modèle.

    Concernant le problème du test, il est difficile de dire quand la statistique H est suffisamment grande pour que l'on considère une interaction "forte".

    De plus, les statistiques H peuvent être supérieures à 1, ce qui rend l'interprétation difficile.

    La statistique H nous indique la force des interactions, mais elle ne nous dit pas à quoi ressemblent les interactions. C'est à cela que servent les parcelles de dépendance partielle. Un flux de travail significatif consiste à mesurer les forces d'interaction, puis à créer des tracés de dépendance partiels en 2D pour les interactions qui vous intéressent.

    La statistique H ne peut pas être utilisée de manière significative si les entrées sont des pixels. La technique n'est donc pas utile pour le classificateur d'images.

    La statistique d'interaction fonctionne sous l'hypothèse que nous pouvons mélanger les caractéristiques indépendamment. Si les caractéristiques sont fortement corrélées, l'hypothèse est violée et nous intégrons des combinaisons de fonctionnalités qui sont très improbables en réalité. C'est le même problème que les parcelles de dépendance partielle ont. Vous ne pouvez pas dire en général si cela conduit à une surestimation ou à une sous-estimation.

    Parfois les résultats sont étranges et pour les petites simulations ne donne pas les résultats escomptés. Mais c'est plus une observation anecdotique.

    5.4.6 Implémentations

    Pour les exemples de ce livre, j'ai utilisé le package R iml , qui est disponible sur CRAN et la version de développement sur Github. Il existe d'autres implémentations, qui se concentrent sur des modèles spécifiques : Le package R pré-implémente RuleFit et H-statistic. Le package R gbm implémente des modèles à gradient amplifié et une statistique H.

    5.4.7 Alternatives

    La statistique H n'est pas le seul moyen de mesurer les interactions :

    Variable Interaction Networks (VIN) de Hooker (2004) 33 est une approche qui décompose la fonction de prédiction en effets principaux et en interactions de caractéristiques. Les interactions entre les entités sont ensuite visualisées sous forme de réseau. Malheureusement, aucun logiciel n'est encore disponible.

    Interaction de caractéristiques basée sur la dépendance partielle par Greenwell et. al (2018) 34 mesure l'interaction entre deux caractéristiques. Cette approche mesure l'importance de la caractéristique (définie comme la variance de la fonction de dépendance partielle) d'une caractéristique en fonction de points fixes différents de l'autre caractéristique. Si la variance est élevée, alors les caractéristiques interagissent les unes avec les autres, si elle est nulle, elles n'interagissent pas. Le package R correspondant vip est disponible sur Github. Le package couvre également les tracés de dépendance partielle et l'importance des caractéristiques.

    Friedman, Jérôme H et Bogdan E Popescu. "Apprentissage prédictif via des ensembles de règles" Les Annals of Applied Statistics. JSTOR, 916–54. (2008).↩

    Talonneur, Giles. "Découvrir la structure additive dans les fonctions de boîte noire." Actes de la dixième conférence internationale ACM SIGKDD sur la découverte des connaissances et l'exploration de données. (2004).↩

    Greenwell, Brandon M., Bradley C. Boehmke et Andrew J. McCarthy. "Une mesure simple et efficace de l'importance des variables basée sur un modèle." arXiv preprint arXiv:1805.04755 (2018).↩


    5.4 : Solution logistique - Biologie

      U2C[aL2E7bqfE-bo!hY/:ZD-"f^9G5.4 : Solution logistique - Biologie,[nobr][H1toH2]

      Facteurs affectant la fluctuation de la population

      Les écologistes des populations divisent généralement les facteurs qui affectent la taille des populations en facteurs dépendants et indépendants de la densité. Des facteurs indépendants de la densité, tels que la météo et le climat, exercent leur influence sur la taille de la population quelle que soit la densité de la population. En revanche, les effets des facteurs dépendants de la densité s'intensifient à mesure que la population augmente en taille. Par exemple, certaines maladies se propagent plus rapidement dans les populations où les individus vivent à proximité les uns des autres que dans celles dont les individus vivent plus loin les uns des autres. De même, la compétition pour la nourriture et d'autres ressources augmente avec la densité et affecte une proportion croissante de la population. La dynamique de la plupart des populations est influencée à la fois par des facteurs dépendants et indépendants de la densité, et les effets relatifs des facteurs varient selon les populations. Les facteurs indépendants de la densité sont connus sous le nom de facteurs limitatifs, tandis que les facteurs dépendants de la densité sont parfois appelés facteurs régulateurs en raison de leur potentiel de maintien de la densité de population dans une plage de valeurs étroite.


      Exemples de solutions

      Nutriments dans le sol

      Les plantes ont besoin d'accéder aux nutriments et aux minéraux du sol pour survivre. Pour obtenir ces nutriments et minéraux, les plantes doivent diffuser les nutriments à travers les membranes de leurs racines. Pour ce faire, les nutriments doivent être dissous par l'eau. La solution baigne ensuite les racines et les protéines incrustées dans les membranes racinaires peuvent transporter le nutriment dans les cellules. Une fois que les cellules ont les nutriments, plus d'eau inonde les cellules. Ce mécanisme chez les plantes permet à l'eau et aux nutriments de s'écouler des racines aux feuilles supérieures, même dans les arbres les plus hauts. Au niveau des feuilles, la plante transpire l'eau dans l'air, permettant à la pression osmotique de continuer à forcer les nutriments et à arroser les feuilles. Tout cela est possible car l'eau est une excellente solution qui crée les solutions nécessaires à la vie.

      Nectar de fleurs

      • Soluté – Les molécules qui se mettent en suspension par le solvant dans une solution.
      • Solvant – Le matériau ou la substance qui dissout les molécules de soluté dans une solution.
      • Polarité – La quantité de charges positives et négatives d'une molécule et comment elles interagissent.
      • Concentration – La quantité de soluté dissous par volume de solvant dans une solution.

      1. Vous buvez un soda. Il contient du sucre, de l'eau et du dioxyde de carbone. Lesquels de ceux-ci sont des solutés dans cette solution ?
      UNE. Sucre
      B. Tous les trois
      C. Sucre et dioxyde de carbone

      2. Si vous avez déjà eu un aquarium, vous savez que les barboteurs sont importants. Un barboteur est un petit appareil qui génère des bulles au fond d'un réservoir et les laisse monter vers le haut. En montant, les bulles diffusent de l'oxygène dans l'eau. Les poissons ont besoin de cet oxygène pour survivre. Si l'eau du réservoir est la solution, quel est le soluté et le solvant ?
      UNE. Solvant=H2O , Soluté=Oxygène
      B. Solvant=Oxygène , Soluté= H2O
      C. Solvant=Oxygène , Soluté=Oxygène

      3. La concentration de protons dissous dans l'eau est une mesure de l'acidité d'une solution. Les scientifiques ont développé l'échelle de pH comme référence rapide à la quantité de protons dans une solution. Les acides sont plus proches de 0, tandis que les solutions basiques sont plus proches de 14. Vous trouverez ci-dessous les valeurs de pH de différentes solutions. Lequel a le plus de protons dissous ?
      UNE. 12
      B. 4
      C. 5


      Voir la vidéo: Débunkage du dérèglement climatique, de la catastrophe du réchauffement solution pic pétrolier (Août 2022).